Хеш-таблицы

Для работы с словарем требуются поиск, вставка и удаление. Один из наиболее эффективных способов реализации словаря – хеш-таблицы. Среднее время поиска элемента в них есть O(1), время для наихудшего случая – O(n). Прекрасное изложение хеширования можно найти в работах Кормена[2] и Кнута[1]. Чтобы читать статьи на эту тему, вам понадобится владеть соответствующей терминологией. Здесь описан метод, известный как связывание или открытое хеширование[3]. Другой метод, известный как замкнутое хеширование[3] иëè заêðûòàÿ адресация[1], здесь не обсуждаются. Ну, как?

Теория

Хеш-таблица – это обычный массив с необычной адресацией, задаваемой хеш-функцией. Например, на hashTable рис. 3.1 – это массив из 8 элементов. Каждый элемент представляет собой указатель на линейный список, хранящий числа. Хеш-функция в этом примере просто делит ключ на 8 и использует остаток как индекс в таблице. Это дает нам числа от 0 до 7 Поскольку для адресации в hashTable нам и нужны числа от 0 до 7, алгоритм гарантирует допустимые значения индексов.

Рис. 3.1: Хеш-таблица

Чтобы вставить в таблицу новый элемент, мы хешируем ключ, чтобы определить список, в который его нужно добавить, затем вставляем элемент в начало этого списка. Например, чтобы добавить 11, мы делим 11 на 8 и получаем остаток 3. Таким образом, 11 следует разместить в списке, на начало которого указывает hashTable[3]. Чтобы найти число, мы его хешируем и проходим по соответствующему списку. Чтобы удалить число, мы находим его и удаляем элемент списка, его содержащий.

Если хеш-функция распределяет совокупность возможных ключей равномерно по множеству индексов, то хеширование эффективно разбивает множество ключей. Наихудший случай – когда все ключи хешируются в один индекс. При этом мы работаем с одним линейным списком, который и вынуждены последовательно сканировать каждый раз, когда что-нибудь делаем. Отсюда видно, как важна хорошая хеш-функция. Здесь мы рассмотрим лишь несколько из возможных подходов.
При иллюстрации методов предполагается, что unsigned char располагается в 8 бèòах, unsigned short int – в 16, unsigned long int – в 32.

·         Деление (размер таблицы hashTableSize – простое число). Этот метод использован в последнем примере. Хеширующее значение hashValue, изменяющееся от 0 до (hashTableSize - 1), равно остатку от деления ключа на размер хеш-таблицы. Вот как это может выглядеть:

typedef int hashIndexType;

hashIndexType hash(int Key) {
    return Key % hashTableSize;
}

Для успеха этого метода очень важен выбор подходящего значения hashTableSize. Если, например, hashTableSize равняется двум, то для четных ключей хеш-значения будут четными, для нечетных – нечетными. Ясно, что это нежелательно – ведь если все ключи окажутся четными, они попадут в один элемент таблицы. Аналогично, если все ключи окажутся четными, то hashTableSize, равное степени двух, попросту возьмет часть битов Key в качестве индекса. Чтобы получить более случайное распределение ключей, в качестве hashTableSize нужно брать простое число, не слишком близкое к степени двух.

·         Мультипликативный метод (размер таблицы hashTableSize есть степень 2n). Значение Key умножается на константу, затем от результата берется необходимое число битов. В качестве такой константы Кнут[1] рекомендует золотое сечение = 0.6180339887499. Пусть, например, мы работаем с байтами. Умножив золотое сечение на 28, получаем 158. Перемножим 8-битовый ключ и 158, получаем 16-битовое целое. Для таблицы длиной 25 в качестве хеширующего значения берем 5 младших битов младшего слова, содержащего такое произведение. Вот как можно реализовать этот метод:

/* 8-bit index */

typedef unsigned char hashIndexType;

static const hashIndexType K = 158;

 

/* 16-bit index */

typedef unsigned short int hashIndexType;

static const hashIndexType K = 40503;

 

/* 32-bit index */

typedef unsigned long int hashIndexType;



static const hashIndexType K = 2654435769;

 

/* w=bitwidth(hashIndexType), size of table=2**m */

static const int S = w - m;

hashIndexType hashValue = (hashIndexType)(K * Key) >> S;

Пусть, например, размер таблицы hashTableSize равен 1024 (210). Тогда нам достаточен 16-битный индекс и S будет присвоено значение 16 – 10 = 6. В итоге получаем:

typedef unsigned short int hashIndexType;

 

hashIndexType hash(int Key) {

    static const hashIndexType K = 40503;

    static const int S = 6;

    return (hashIndexType)(K * Key) >> S;

}

·         Аддитивный метод для строк переменной длины (размер таблицы равен 256). Для строк переменной длины вполне разумные результаты дает сложение по модулю 256. В этом случае результат hashValue заключен между 0 и 244.

typedef unsigned char hashIndexType;

 

hashIndexType hash(char *str) {

    hashIndexType h = 0;

    while (*str) h += *str++;

    return h;

}

·         Исключающее ИЛИ для строк переменной длины (размер таблицы равен 256). Этот метод аналогичен аддитивному, но успешно различает схожие слова и анаграммы (аддитивный метод даст одно значение для XY и YX). Метод, как легко догадаться, заключается в том, что к элементам строки последовательно применяется операция “исключающее или”. В нижеследующем алгоритме добавляется случайная компонента, чтобы еще улучшить результат.

typedef unsigned char hashIndexType;

unsigned char Rand8[256];

 

hashIndexType hash(char *str) {

    unsigned char h = 0;

    while (*str) h = Rand8[h ^ *str++];

    return h;

}

Здесь Rand8 – таблица из 256 восьмибитовых случайных чисел. Их точный порядок не критичен. Корни этого метода лежат в криптографии; он оказался вполне эффективным [4].

·         Исключающее ИЛИ для строк переменной длины (размер таблицы £ 65536). Если мы хешируем строку дважды, мы получим хеш-значение для таблицы любой длины до 65536.


Когда строка хешируется во второй раз, к первому символу прибавляется 1. Получаемые два 8-битовых числа объединяются в одно 16-битовое.

typedef unsigned short int hashIndexType;

unsigned char Rand8[256];

 

hashIndexType hash(char *str) {

    hashIndexType h;

    unsigned char h1, h2;

 

    if (*str == 0) return 0;

    h1 = *str; h2 = *str + 1;

    str++;

    while (*str) {

        h1 = Rand8[h1 ^ *str];

        h2 = Rand8[h2 ^ *str];

        str++;

    }

 

    /* h is in range 0..65535 */

    h = ((hashIndexType)h1 << 8)|(hashIndexType)h2;

    /* use division method to scale */

    return h % hashTableSize

}

      Размер хеш-таблицы должен быть достаточно велик, чтобы в ней оставалось разумное число пустых мест. Как видно из таблицы 3.1, чем меньше таблица, тем больше среднее время поиска ключа в ней. Хеш-таблицу можно рассматривать как совокупность связанных списков. По мере того, как таблица растет, увеличивается количество списков и, соответственно, среднее число узлов в каждом списке уменьшается. Пусть количество элементов равно n. Если размер таблицы равен 1, то таблица вырождается в один список длины n. Если размер таблицы равен 2 и хеширование идеально, то нам придется иметь дело с двумя списками по n/100 элементов в каждом. Как мы видим в таблице 3.1, имеется значительная свободы в выборе длины таблицы.

size	time	size	time
1	869	128	9
2	432	256	6
4	214	512	4
8	106	1024	4
16	54	2048	3
32	28	4096	3
64	15	8192	3

Таблица 3.1: Зависимость среднего времени поиска (ms) от   hashTableSize.
Сортируются 4096 элементов.


Реализация

Реализация алгоритма на Си находится в разделе 4.5. Операторы typedef T и compGT следует изменить так, чтобы они соответствовали данным, хранимым в массиве. Для работы программы следует также определить hashTableSize и отвести место под hashTable. В хеш-функции hash использован метод деления.Функция insertNode отводит память под новый узел и вставляет его в таблицу. Функция deleteNode удаляет узел и освобождает память, где он располагался. Функция findNode ищет в таблице заданный ключ.


Содержание раздела

---

---